Yuhi
丝之鸽
Yuhi
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AcWing动态规划

 ACM/Notes

AcWing

学习笔记

背包问题

01背包

AcWing 2. 01背包问题

有 $n$ 件物品和一个容量是 $m$ 的背包。每件物品只能使用一次。

第 $i$ 件物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

求在不超过背包容量的前提下的最大价值。

分析

  1. 状态表示 $f[i][j]$

    • 集合：从前 $ i $ 个物品中选，总体积不超过 $ j $ 的所有选法。
    • 属性：$ \max $（最大价值）

  2. 状态计算

    • 集合划分依据：是否选择第$ i $个物品
    • 状态转移方程：

$$ f[i][j] = \max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v_i] + w_i) $$

可以发现，每次计算 $f[i][j]$ 是由第 $i-1$ 层转移而来，因此可以用滚动数组优化至一维，将体积从大到小循环，就可以保证 $f[j]$ 计算时用到的都是上一层状态。 $$ f[j] = \max(f[j], f[j - v_i] + w_i) $$

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for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = m; j >= v; j--)
        f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

 

完全背包

AcWing 3. 完全背包问题

有 $ n $ 种物品和一个容量是 $ m $ 的背包。每种物品都有无限件可用。

第 $ i $ 件物品的体积是 $ v_i $，价值是 $ w_i $。

求在不超过背包容量的前提下的最大价值。

分析

  1. 状态表示 $ f[i][j] $

    • 集合：从前 $ i $ 种物品中选，总体积不超过 $ j $ 的所有选法。

    • 属性：$ \max $（最大价值）

  2. 状态计算

    • 集合划分依据：第 $i$ 组物品选第 $k$ 个
    • 状态转移方程：

$$ f[i][j] = \max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v_i] + w[i]) $$

可以做如下推导： $$ f[i][j] = \max \lbrace f[i-1][j],f[i-1][j-v_i]+w_i,f[i-1][j-2v_i]+2w_i,...\rbrace\quad① $$

$$ f[i][j-v] = \max \lbrace f[i-1][j-v_i],f[i-1][j-2v_i]+w_i,f[i-1][j-3v_i]+2w_i,... \rbrace \quad ② $$

可以发现，①式从第二项开始到最后，其项数与②式相同，大小相当于②式加上一个偏移量 $w_i$，因此等价可得： $$ f[i][j] = \max(f[i - 1][j], f[i][j - v_i] + w_i) $$ 可以发现，如果用滚动数组优化至一维，将体积从小到大循环，就可以保证计算 $f[j]$ 时用到 $f[j - v]$ 已经是第 $i$ 层状态，而 $f[j]$ 当层计算前仍然是上一层状态，满足原来的二维状态转移方程。 $$ f[j] = \max(f[j], f[j - v_i] + w_i) $$

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for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = v; j <= m; j++)
        f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

 

分组背包

AcWing 9. 分组背包问题

有 $n$ 组物品和一个容量是 $m$ 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个 $i$ 是组号，$j$ 是组内编号。

每件物品的体积是 $v_{ij}$。价值是 $w_{ij}$。

求在不超过背包容量的前提下的最大价值。

分析

  1. 状态表示 $f[i][j]$

    • 集合：从前 $ i $ 组物品中选，总体积不超过 $ j $ 的所有选法。

    • 属性：$ \max $（最大价值）

  2. 状态计算

    集合划分依据：第$ i $组物品选哪个（第 $ k $ 个）或一个都不选 $$ f[i][j] = \max(f[i-1][j],f[i-1][j - v_ {ik} ]+w_{ik}) $$

优化

每次计算 $f[i][j]$ 是由第 $i-1$ 层转移而来，因此可以用滚动数组优化至一维，体积大到小循环即可。

$$ f[j] = \max(f[j], f[j - v_{ik}] + w_{ik}) $$

体积从大到小循环，枚举组内选择，其中 $ j≥v_{ik} $

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for (int i = 1; i <= n; i++) // 枚举组号
    for (int j = m; j >= 1; j--)  // 枚举体积
        for (int k = 1; k <= s[i]; k++) // 选第k个
            if (j >= v[i][k])
                f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);

 

多重背包

有 $n$ 种物品和一个容量是 $m$ 的背包。

第 $i$ 种物品最多有 $s_i$ 件，每件体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

求在不超过背包容量的前提下的最大价值。

分析

  1. 状态表示 $f[i][j]$

    • 集合：从前 $i$ 种物品中选，总体积不超过 $j$ 的所有选法。
    • 属性：$\max $（最大价值）

  2. 状态计算

    • 集合划分依据：第$i$种物品选几个（ $k$ 个）

$$ f[i][j] = \max(f[i-1][j - v_i \cdot k] + w_i \cdot k) $$

$$ k \cdot v_i≤j \ 并且 \ k=0, 1, 2,...s_i $$

暴力

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for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= m; j++)
        for (int k = 0; k <= s[i] & k * v[i] <= j; k++)
            f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);

一维

AcWing 4. 多重背包问题 I

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for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = m; j >= 1; j--) // 体积从大到小即可
        for (int k = 0; k <= s[i] & k * v[i] <= j; k++)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i] * k] + w[i] * k);

二进制优化

AcWing 5. 多重背包问题 II

将 $s_i$ 个物品分解成 $2^0, 2^1, ... , 2^k, c$ 个物品打包的组合。

其中 $k$ 为满足 $2^{k+1}-1 ≤ s_i$ 的最大 $k$，$c$ 为剩下的一部分。

最终满足 $2^0 + 2^1 + ... + 2^k + c = s_i$

打包后的物品就可以转化为 $01$ 背包问题。

时间复杂度：$ O(nm \log s) $

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#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
// N取nlogs上取整
const int N = 12000, M = 2010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[M];
int cnt; // 打包后的总物品个数

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    // 预处理出新的cnt个物品
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {	// 体积，价值，个数
        int a, b, s;
        cin >> a >> b >> s;
        
        int k = 1;
        while (k <= s)
        {
            cnt++;
            v[cnt] = a * k;
            w[cnt] = b * k;
            s -= k;
            k <<= 1;
        }
        if (s > 0) // 还剩s个
        {
            cnt++;
            v[cnt] = a * s;
            w[cnt] = b * s;
        }
    }
    
    // 01
    for (int i = 1; i <= cnt; i++)
        for (int j = m; j >= v[i]; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
            
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}

单调队列优化

AcWing 6. 多重背包问题 III

似懂非懂

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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 20010;

int n, m;
int f[N], g[N];
int q[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;
        
        memcpy(g, f, sizeof f);
        for (int j = 0; j < v; j++)
        {
            int hh = 0, tt = -1;
            for (int k = j; k <= m; k += v)
            {
                if (hh <= tt && q[hh] < k - s * v) hh++;
                if (hh <= tt) f[k] = max(f[k], g[q[hh]] + (k - q[hh]) / v * w);
                while (hh <= tt && g[q[tt]] - (q[tt] - j) / v * w <= g[k] - (k - j) / v  * w) tt--;
                q[++tt] = k;
            }
        }
    }
    
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}

最长公共上升子序列

AcWing 272. 最长公共上升子序列

LICS.png

朴素版

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#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 3010;

int n;
int a[N], b[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &b[i]);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (a[i] == b[j])
            {   
                f[i][j] = max(f[i][j], 1);
                for (int k = 1; k < j; k++)
                    if (b[k] < b[j])
                        f[i][j] = max(f[i][j], f[i][k] + 1);
            }
        }
        
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) res = max(res, f[n][i]);
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}

优化

由朴素版本的代码 for (int k = 1; k < j; k++) if (b[k] < b[j]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][k] + 1); 这里是在a[i] == b[j]的前提下用f[i][1]~f[i][j-1]中的最大值来更新f[i][j]，而这个最大值是前缀最大值，也就是说，我们可以一个变量maxv存下这个最大值，每一轮更新maxv。这样我们枚举到第j轮时，maxv存的就是f[i][1 ~ j-1]中的最大值，本轮结束再更新maxv。

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for (int i = 1; i <= n; i++)
{   
    int maxv = 0; // 存f[i][1 ~ j-1]的最大值，初始为0
    for (int j = 1; j <= n; j++)
    {   // 此时maxv为f[i][1]~f[i][j-1]的最大值
        f[i][j] = f[i - 1][j];
        if (a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j], maxv + 1);
        if (b[j] < a[i]) maxv = max(maxv, f[i][j]); // 将本轮maxv更新
    }
}

数字三角形模型

AcWing 898. 数字三角形

从下往上走，只能选择向左或向上，边界初始化为0即可。

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#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510;

int n;
int w[N][N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            cin >> w[i][j];
            
    for (int i = n; i; i--)
        for (int j = i; j; j--)
            f[i][j] = max(f[i + 1][j], f[i + 1][j + 1]) + w[i][j];
            
    cout << f[1][1] << endl;
    
    return 0;
}

（咕咕咕

updatedupdated2021-01-062021-01-06
f377450
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