Codeforces1420D Rescue Nibel!

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题意

给定 $n$ 盏灯以及 $n$ 组区间,每个区间表示在这个时间段这盏灯亮着。现在需要选出 $k$ 盏灯,它们在某一时刻同时亮着。求选这 $k$ 盏灯有多少种方案($\rm mod \ 998244353$)。

解法

用 $1$ 标记区间左端点 $l$,$-1$ 标记区间右边界 $r$ 的下一个位置 $r+1$。这样我们将所有区间的端点排序后,从小到大枚举,如果当前的端点是左端点,那么就计算,选上这个左端点所表示的区间,那么还需要选择 $k-1$ 个,再从这个左端点的前面遍历到的区间中选 $k-1$ 个即可。如果遇到一个右端点,说明当前这个右端点所表示的区间结束了,就需要删掉它。下一次选的时候就不会选到它了。

这样每次遇到一个左端点,我们考虑选上这个左端点所在的区间后,再从前面那些与当前选择的区间有公共点的区间中选择 $k-1$ 个,就不重不漏了。

用 $1$ 标记左端点 $l$,$-1$ 标记右端点的下一个位置 $r+1$,在某一类区间问题中是个不错的技巧。

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#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
typedef pair<int, int> PII;
typedef long long LL;
 
const int N = 300010, mod = 998244353;
 
int n, k;
PII p[N << 1];
int fact[N], infact[N];

int ksm(int a, int k) {
    int res = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) res = (LL)res * a % mod;
        a = (LL)a * a % mod;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

void init() {
    fact[0] = infact[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i++) {
        fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;
        infact[i] = (LL)infact[i - 1] * ksm(i, mod - 2) % mod;
    }
}

int C(int a, int b) {
    if (a < b) return 0;
    return (LL)fact[a] * infact[b] % mod * infact[a - b] % mod;
}

int main() {
    cin >> n >> k;
    init();
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        p[i * 2] = {l, 1};
        p[i * 2 + 1] = {r + 1, -1};
    }
    sort(p, p + n * 2);
    LL ans = 0, s = 0;
    // s表示当前所考虑的区间(灯)的总数
    for (int i = 0; i < n * 2; i++) {
        if (p[i].second == 1) (ans += C(s, k - 1)) %= mod;
        s += p[i].second; // 若为右端点即s--,删掉这个区间;若是左端点则s++,表示新增一个下次可以选择的区间。
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}
updatedupdated2020-11-232020-11-23
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