原题链接：HDU4336
状态压缩，概率 DP
题目大意：$N$ 个物品，每次得到第 $i$ 个物品的概率为 $g[i]$，而且有可能什么也得不到，问期望多少次能收集到全部 $N$ 个物品。
解法
f[state]表示状态state到达目标状态的期望步数。状态中的1表示该物品已经得到，目标为全1状态。dp(state)（记忆化搜索）含义相同。
状态转移
假设当前状态state中还有k个物品没有得到。
$$
f[state] = \sum_{i=1}^{k}g[i]\times[1+dp(state|1<<i)]+(1-\sum_{i=1}^{k}g[i])(1+f[state])
$$
要注意这里的i应该是物品编号，这里这么写只是为了表述方便。
这个式子第一部分的含义是，f[state]到目标的期望步数，state，得到一个没有之前没有的物品i，到达state | 1 << i状态，再加上新状态到目标的步数。第二部分的含义是，state得到了已经有的物品，那么仍然是state状态，相当于原地走了一步。
对上式进行化简，可得：
$$
f[state] = \frac{\sum_{i=1}^{k}g[i]\times dp(state|1<<i)+1}{\sum_{i=1}^{k}g[i]}
$$
代码
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| #include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 21;
int n;
double f[1 << N];
double g[N];
// 状态state到全1状态的期望步数
double dp(int state) {
if (f[state] >= 0) return f[state];
double res = 0, sum = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (state >> i & 1) continue;
res += g[i] * dp(state | 1 << i);
sum += g[i];
}
f[state] = (res + 1) / sum;
return f[state];
}
int main() {
while (cin >> n) {
memset(f, -1, sizeof f);
f[(1 << n) - 1] = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> g[i];
printf("%.5f\n", dp(0));
}
return 0;
}
|
